Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.6

Um $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.7

Kombiniere $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 6.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 6.3.11.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $e^{3}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere $- - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Schritt 7.2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Schritt 7.5

Um $e^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Schritt 7.6

Kombiniere $e^{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Schritt 7.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Schritt 7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Schritt 7.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Schritt 7.10

Subtrahiere $e^{3}$ von $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Schritt 7.11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.12

Multipliziere $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.12.1

Mutltipliziere $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Dezimalform:

$4.57456376 \dots$