Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{- 1} u - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{- 1} u d u + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$(\frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 6.2

Berechne $- u^{- 1}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2}) - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.6.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - 2 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.7

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{1 - 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.10.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{- 3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (- \frac{1}{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.13

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} - (- (- 1 \cdot 1) + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2} - (- - 1 + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 6.3.16

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + \frac{1}{- 2})$

Schritt 6.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} - (1 - \frac{1}{2})$

Schritt 6.3.18

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} - \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 6.3.20

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Schritt 6.3.22

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 6.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.23.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 6.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 6.3.23.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 7