Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} + 7 d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{3} t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $3$ und $1$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Schritt 6.2

Berechne $7 t$ bei $3$ und $1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$3 (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (9 - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$3 \frac{27 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $27$ .

$3 (\frac{26}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{26}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $26$ .

$\frac{78}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $78$ und $3$ .

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Schritt 6.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $78$ heraus.

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{26}{1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.10.2.4

Dividiere $26$ durch $1$ .

$26 + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$26 + 21 - 7 \cdot 1$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$26 + 21 - 7$

Schritt 6.3.13

Subtrahiere $7$ von $21$ .

$26 + 14$

Schritt 6.3.14

Addiere $26$ und $14$ .

$40$

Schritt 7