Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} - 2 x^{3} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{2} x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$3 (\frac{1}{6} x^{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{6}}{6}$ bei $2$ und $1$ .

$3 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$3 (\frac{64}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$3 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.4

Um $\frac{32}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{32 \cdot 2 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.7.1

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$3 \frac{64 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$3 (\frac{63}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$3 \frac{3 (21)}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{21}{2}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $21$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.11

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.12.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.12.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.14

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{63}{2} - 2 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 7.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.17.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 \frac{16 - 1}{4}$

Schritt 7.2.3.17.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{15}{4})$

Schritt 7.2.3.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{15}{4}$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 2 \cdot 15}{4}$

Schritt 7.2.3.19

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 30}{4}$

Schritt 7.2.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{63}{2} + \frac{2 (- 15)}{4}$

Schritt 7.2.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63}{2} + \frac{- 15}{2}$

Schritt 7.2.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{63}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 7.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{63 - 15}{2}$

Schritt 7.2.3.23

Subtrahiere $15$ von $63$ .

$\frac{48}{2}$

Schritt 7.2.3.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.24.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$\frac{2 \cdot 24}{2}$

Schritt 7.2.3.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.24.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Schritt 7.2.3.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24}{1}$

Schritt 7.2.3.24.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$24$

Schritt 8