Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Berechne $x \sin (x)$ bei $π$ und $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Schritt 3.1.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $π \sin (π)$ und $0$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

Schritt 3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$0 - (- \cos (π) + 1)$

Schritt 3.3.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

Schritt 3.3.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - (- - 1 + 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 - (1 + 1)$

Schritt 3.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - 2$

Schritt 3.3.10

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$