Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x$

Schritt 2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $x e^{x}$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Schritt 3.2

Berechne $e^{x}$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\ln (2) \cdot 2 + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$2 \cdot \ln (2) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 \ln (2) + 0 \cdot 1 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$2 \ln (2) + 0 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3.5

Addiere $2 \ln (2)$ und $0$ .

$2 \ln (2) - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 3.3.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$2 \ln (2) - (2 - e^{0})$

Schritt 3.3.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1)$

Schritt 3.3.9

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 \ln (2) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \ln (2) - 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (2) - 1$

Dezimalform:

$0.38629436 \dots$

Schritt 5