Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $- 7$ und $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Schritt 6.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Schritt 6.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{344}{12}$

Schritt 6.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $344$ und $12$ .

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Schritt 6.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $344$ heraus.

$\frac{4 (86)}{12}$

Schritt 6.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{86}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{86}{3}$

Dezimalform:

$28.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$28 \frac{2}{3}$

Schritt 8