Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} {(2 t - 1)}^{2} d t$

Schritt 1

Sei $u = 2 t - 1$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 t - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{1} u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{1}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{3}$

Schritt 5.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$

Schritt 7