Analysis Beispiele

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Dann ist $d u_{2} = \cot (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Stelle die Faktoren von $\csc (x) \cos (x)$ um.

$\cos (x) \csc (x)$

Schritt 1.1.5.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.5.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$