Analysis Beispiele

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$(2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$6 - 2 \cdot 2^{1}$

Schritt 3.2.9

Berechne den Exponenten.

$6 - 2 \cdot 2$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 - 4$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$2$

Schritt 4