Analysis Beispiele

$\int 7 x e^{5 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int x e^{5 x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 10 x e^{5 x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u_{2} = x e^{5 x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{5 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x^{2}$ .

$e^{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{5 x^{2}} (5 (2 x))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$e^{5 x^{2}} (10 x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{5 x^{2}} (10 x)$ um.

$10 e^{5 x^{2}} x$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $10 e^{5 x^{2}} x$ um.

$10 x e^{5 x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$7 \int \frac{1}{10} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $7 (\frac{1}{10} u_{2} + C)$ als $7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$ um.

$7 (\frac{1}{10}) u_{2} + C$

Schritt 4.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} u_{2} + C$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{5 x^{2}}$ .

$\frac{7}{10} e^{5 x^{2}} + C$