Analysis Beispiele

$\int_{24}^{25} x \sqrt{x^{2} - 576} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 576$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 576$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 576$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 576]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 576$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 576]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 576]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 576]$

Schritt 1.1.4

Da $- 576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 576$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 576$ ein.

$u_{lower} = 24^{2} - 576$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$u_{lower} = 576 - 576$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $576$ von $576$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 576$ ein.

$u_{upper} = 25^{2} - 576$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$u_{upper} = 625 - 576$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $576$ von $625$ .

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $49$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $343$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{686}{3} + 0)$

Schritt 6.2.13

Addiere $\frac{686}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{686}{3}$

Schritt 6.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{686}{6}$

Schritt 6.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $686$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $686$ heraus.

$\frac{2 (343)}{6}$

Schritt 6.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 343}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 343}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{343}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{343}{3}$

Dezimalform:

$114.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$114 \frac{1}{3}$

Schritt 8