Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{2} x^{2} + x - 6 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}$ und $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ und $- 6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x]_{- 3}^{2}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ bei $2$ und $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 + 6}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.9.2

Addiere $8$ und $6$ .

$\frac{14}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{14}{3} - 12 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.11

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.12

Kombiniere $- 12$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 - 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.14.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$\frac{14 - 36}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.14.2

Subtrahiere $36$ von $14$ .

$\frac{- 22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.17

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 27}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 5.2.2.18.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.18.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.19

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.20

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.21

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.22

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.24.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 18 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.24.2

Addiere $- 18$ und $9$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Schritt 5.2.2.26

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18)$

Schritt 5.2.2.27

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2.28

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.2.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 18 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.30.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 36}{2}$

Schritt 5.2.2.30.2

Addiere $- 9$ und $36$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{27}{2}$

Schritt 5.2.2.31

Um $- \frac{22}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 5.2.2.32

Um $- \frac{27}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.33

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.2.33.1

Mutltipliziere $\frac{22}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.33.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.33.3

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.2.33.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6}$

Schritt 5.2.2.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 22 \cdot 2 - 27 \cdot 3}{6}$

Schritt 5.2.2.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.35.1

Mutltipliziere $- 22$ mit $2$ .

$\frac{- 44 - 27 \cdot 3}{6}$

Schritt 5.2.2.35.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $3$ .

$\frac{- 44 - 81}{6}$

Schritt 5.2.2.35.3

Subtrahiere $81$ von $- 44$ .

$\frac{- 125}{6}$

Schritt 5.2.2.36

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{125}{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{125}{6}$

Dezimalform:

$- 20.8\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 20 \frac{5}{6}$

Schritt 7