Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Schritt 3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ und $9 x]_{2}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ bei $4$ und $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Um $36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $36$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.7.1

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2

Addiere $64$ und $108$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.14.2

Addiere $8$ und $54$ .

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16

Subtrahiere $62$ von $172$ .

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.17

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.19

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

Schritt 7.2.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 7.2.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 7.2.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

Schritt 7.2.3.20.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

Schritt 7.2.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

Schritt 7.2.3.22

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

Schritt 7.2.3.23

Mutltipliziere $- 6$ mit $6$ .

$\frac{110}{3} - 36$

Schritt 7.2.3.24

Um $- 36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.25

Kombiniere $- 36$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.27.1

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$\frac{110 - 108}{3}$

Schritt 7.2.3.27.2

Subtrahiere $108$ von $110$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$

Schritt 9