Analysis Beispiele

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ und $- 8 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ bei $2$ und $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.4.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.6

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.11

Um $- 16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $- 16$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.14.2

Subtrahiere $48$ von $8$ .

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.16

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.17

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 64$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Schritt 7.2.3.19

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

Schritt 7.2.3.20

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 7.2.3.21

Kombiniere $32$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

Schritt 7.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.23.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

Schritt 7.2.3.23.2

Addiere $- 64$ und $96$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

Schritt 7.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

Schritt 7.2.3.25

Subtrahiere $32$ von $- 40$ .

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

Schritt 7.2.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.26.1

Faktorisiere $3$ aus $- 72$ heraus.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

Schritt 7.2.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.26.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

Schritt 7.2.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

Schritt 7.2.3.26.2.4

Dividiere $- 24$ durch $1$ .

$- 12 - 24$

Schritt 7.2.3.27

Subtrahiere $24$ von $- 12$ .

$- 36$

Schritt 8