Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{4} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 5.5

Bewege $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 5.6

Bewege $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 5.13

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 5.14

Subtrahiere $u^{2}$ von $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 5.15

Stelle $- 2 u^{2}$ und $u^{4}$ um.

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Schritt 5.16

Bewege $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ und $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{1}{5} u^{5} + u$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.5

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.10

Addiere $\frac{6}{5}$ und $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 13.3.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 13.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 13.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 13.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 13.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 13.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 13.3.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 13.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 13.3.15

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Schritt 13.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 13.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Schritt 13.3.18

Um $\frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 13.3.19

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 13.3.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.3.20.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 13.3.20.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 13.3.20.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Schritt 13.3.20.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Schritt 13.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 13.3.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.22.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 13.3.22.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Schritt 13.3.22.3

Subtrahiere $10$ von $18$ .

$\frac{8}{15}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{15}$

Dezimalform:

$0.5\overline{3}$