Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{4} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 6

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 6.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 6.5

Bewege $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 6.6

Bewege $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 6.13

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 6.14

Subtrahiere $u^{2}$ von $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 6.15

Stelle $- 2 u^{2}$ und $u^{4}$ um.

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Schritt 6.16

Bewege $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ und $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $\frac{u^{5}}{5} + u$ bei $0$ und $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Schritt 15.2

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $0$ und $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 15.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.7

Addiere $1$ und $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.8

Subtrahiere $\frac{6}{5}$ von $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 15.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 15.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Schritt 15.3.12

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Schritt 15.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Schritt 15.3.14

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Schritt 15.3.15

Um $- \frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 15.3.16

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 15.3.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 15.3.17.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 15.3.17.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Schritt 15.3.17.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Schritt 15.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 15.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.19.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 15.3.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Schritt 15.3.19.3

Addiere $- 18$ und $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Schritt 15.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{8}{15}$

Schritt 15.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Schritt 15.3.22

Mutltipliziere $\frac{8}{15}$ mit $1$ .

$\frac{8}{15}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{15}$

Dezimalform:

$0.5\overline{3}$