Analysis Beispiele

$\int x^{2} e^{8 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{8 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 2 \int e^{8 x} (x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 (1)}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{e^{8 x}}{8} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \int e^{8 x} d x))$

Schritt 8

Sei $u = 8 x$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 8.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{8} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ als $\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ um.

$\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{8}$ und $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x}{8} e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $\frac{x}{8}$ und $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{64}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Schritt 13.2.6

Um $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Schritt 13.2.7

Kombiniere $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

Schritt 13.2.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 8 (\frac{1}{4}) (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.10

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 8}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 13.2.11.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 13.2.11.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{8 x}}{64}$ in den Zähler.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

Schritt 15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

Schritt 15.3.3

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

Schritt 15.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

Schritt 15.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - \frac{- e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Schritt 15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - - \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Schritt 15.4.2

Multipliziere $- - \frac{e^{8 x}}{32}$ .

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Schritt 15.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 1 \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Schritt 15.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{8 x}}{32}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} (x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} x e^{8 x} + \frac{1}{32} e^{8 x}) + C$