Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $A x + B$ durch $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Schritt 1.1.6.2.2.4

Dividiere $(C x + D) (x^{2} + 1)$ durch $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Schritt 1.1.6.3

Multipliziere $(C x + D) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Schritt 1.1.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Schritt 1.1.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Schritt 1.1.6.4.3

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.7.1

Bewege $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Schritt 1.1.7.2

Bewege $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Schritt 1.1.7.3

Bewege $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = D$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + C$

Schritt 1.2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + D$

Schritt 1.2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $D = 0$ um.

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.2.2

Ersetze alle $C$ in $1 = A + C$ durch $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $1 = A + 0$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.3.1.1

Entferne die Klammern.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.3.2.1

Addiere $A$ und $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Schritt 1.3.3.2

Ersetze alle $D$ in $0 = B + D$ durch $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.3

Vereinfache $0 = B + 0$ .

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Schritt 1.3.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.1

Entferne die Klammern.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Addiere $B$ und $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Dividiere $0$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Schritt 1.5.4

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$