Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{2 x} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} \int u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (x) + C$