Analysis Beispiele

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\cos^{3} (u_{1})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{2} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\cos^{2} (u_{1})$ in $1 - \sin^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\sin^{3} (4 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Schritt 13.4

Multipliziere $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$