Analysis Beispiele

$\int \sec^{5} (x) d x$

Schritt 1

Wende die Reduktionsformel an.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (x) d x$

Schritt 2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (x)$ und $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x)$

Schritt 4

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x)$

Schritt 5

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x)$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x)$

Schritt 7.2

Stelle $\tan^{2} (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x)$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x)$

Schritt 9

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 9.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x)$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

Schritt 9.3

Stelle $\sec (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

Schritt 10

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x)$

Schritt 11

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x)$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

Schritt 13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x)$

Schritt 14

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x)$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x)$

Schritt 16

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 17

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

Schritt 18

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

Schritt 19

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x))$

Schritt 20

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 20.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 21

Wenn nach $\int \sec^{3} (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 22

Mutltipliziere $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C)$

Schritt 23

Vereinfache.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Um $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 24.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 24.2.1

Mutltipliziere $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 24.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 24.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2 + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 24.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} (2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))) + C$