Analysis Beispiele

$\int \frac{3}{x \ln (x)} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Schritt 2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$3 \ln (| u |) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$3 \ln (| \ln (x) |) + C$