Analysis Beispiele

$\int \frac{19}{2 + 5 y} d y$

Schritt 1

Da $19$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $19$ aus dem Integral.

$19 \int \frac{1}{2 + 5 y} d y$

Schritt 2

Sei $u = 2 + 5 y$ . Dann ist $d u = 5 d y$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 + 5 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 + 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + 5 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 5 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$0 + 5$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$19 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$19 \int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Schritt 3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u$ .

$19 \int \frac{1}{5 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$19 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $19$ .

$\frac{19}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{19}{5} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{19}{5} \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 + 5 y$ .

$\frac{19}{5} \ln (| 2 + 5 y |) + C$