Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

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Schritt 11.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} + 4}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{16 + 4}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11.3

Addiere $16$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{20}{2^{2} + 1}}$

Schritt 11.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{20}{4 + 1}}$

Schritt 11.5

Addiere $4$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{20}{5}}$

Schritt 11.6

Dividiere $20$ durch $5$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 11.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 11.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$