Analysis Beispiele

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 4)$ durch $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.1.6.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Schritt 2.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Schritt 2.1.6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.6.1

Bewege $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 2.1.6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Schritt 2.1.7

Bewege $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 A$

Schritt 2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 1$ um.

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Schritt 2.3.4

Löse in $0 = \frac{1}{4} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} + B = 0$ um.

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Schritt 2.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

Schritt 2.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

Schritt 2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- \frac{x}{4}$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} + 4}$ mit $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

Schritt 2.5.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Schritt 2.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

Schritt 8

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\ln (| x^{2} + 4 |)$ und $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.2

Um $\frac{\ln (| x |)}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (| x |)}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

Schritt 15.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 15.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Schritt 15.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$