Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$ als $- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$ um.

$- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$- \frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$