Analysis Beispiele

$\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} d z$

Schritt 1

Sei $u = 1 + z^{3}$ . Dann ist $d u = 3 z^{2} d z$ , folglich $\frac{1}{3} d u = z^{2} d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + z^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + z^{3}$ .

$\frac{d}{d z} [1 + z^{3}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + z^{3}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z^{3}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d z} [z^{3}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 z^{2}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $3 z^{2}$ .

$3 z^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + z^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z^{3})}^{\frac{2}{3}} + C$