Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Schritt 1.1.1.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.2

Dividiere $(x + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 1)$ durch $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.1.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.6.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.8

Bewege $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Schritt 1.3.2

Schreibe die Gleichung als $A = - 1$ um.

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.4

Löse in $1 = - 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + B = 1$ um.

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$