Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \ln^{4} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Schritt 4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{3 \ln^{3} (x)} + C$