Analysis Beispiele

$\int \frac{5}{9 x^{2} + 49} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 49} d x$

Schritt 2

Stelle $9 x^{2}$ und $49$ um.

$5 \int \frac{1}{49 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 3

Faktorisiere $9$ aus $49 + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9$ aus $49$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Schritt 3.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9} + x^{2})} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Schreibe $\frac{49}{9}$ als ${(\frac{7}{3})}^{2}$ um.

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{7}{3}$ zu dividieren.

$\frac{5}{9} (1 (\frac{3}{7}) \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $1$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Schritt 8.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{7}{3}$ zu dividieren.

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (x \frac{3}{7}) + C)$

Schritt 8.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x \cdot 3}{7}) + C)$

Schritt 8.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{3 \cdot x}{7}) + C)$

Schritt 8.1.6

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $\arctan (\frac{3 x}{7})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$ als $\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$ um.

$\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$\frac{15}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $63$ .

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Schritt 8.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (5)}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Schritt 8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$