Analysis Beispiele

$\sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 1.2.3

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$f' (x) = \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ und $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.3

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5.4

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.6.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.7

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.8

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 2.13

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Schritt 2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.14.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.14.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ und $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})] + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.5

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.7.2

Die Ableitung von $\tan (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.10

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.13

Multipliziere $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $\tan (x - \frac{π}{2})$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.13.1

Bewege $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.13.2

Mutltipliziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.13.2.1

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.13.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.16

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.2.18

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{5})$ nach $u_{5}$ ist $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 3.3.5

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 3.3.8

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.3.10

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ um.

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 2 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.4.2

Addiere $2 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ und $3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2})]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ und $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})] + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.5

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})]) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.7.2

Die Ableitung von $\tan (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.10

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.13

Multipliziere $\tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ mit $\tan (x - \frac{π}{2})$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.13.1

Bewege $\tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan (x - \frac{π}{2}) \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.13.2

Mutltipliziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $\tan^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 4.2.13.2.1

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 3} \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.13.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.15

Mutltipliziere $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + \sec (x - \frac{π}{2}) (3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.16

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.2.18

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ und $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.6

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 4.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

Schritt 4.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ gleich $n {u_{5}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

Schritt 4.3.7.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{6}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

Schritt 4.3.8.2

Die Ableitung von $\sec (u_{6})$ nach $u_{6}$ ist $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

Schritt 4.3.8.3

Ersetze alle $u_{6}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

Schritt 4.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

Schritt 4.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 4.3.11

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

Schritt 4.3.12

Addiere $1$ und $0$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

Schritt 4.3.13

Mutltipliziere $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

Schritt 4.3.14

Multipliziere $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ mit $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.14.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{3 + 2} + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

Schritt 4.3.14.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))))$

Schritt 4.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

Schritt 4.3.17

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 (\sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \sec^{2} (x - \frac{π}{2})) \tan (x - \frac{π}{2})))$

Schritt 4.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 {\sec (x - \frac{π}{2})}^{1 + 2} \tan (x - \frac{π}{2})))$

Schritt 4.3.19

Addiere $1$ und $2$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})))$

Schritt 4.3.20

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})))$

Schritt 4.3.21

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

Schritt 4.3.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1})$

Schritt 4.3.23

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 (\sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 5 (3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 15 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 4.4.2.2

Stelle die Faktoren von $3 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ um.

$\tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2}) + 15 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$

Schritt 4.4.2.3

Addiere $3 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ und $15 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 18 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) + 5 \sec^{5} (x - \frac{π}{2})$