Analysis Beispiele

$y = x e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Addiere $e^{x}$ und $2 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 3 e^{x}$ um.

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + 3 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 4.2.1

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Addiere $e^{x}$ und $3 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

Schritt 4.4.2

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

Schritt 4.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 4 e^{x}$ um.

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$