Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.7.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ um.

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.2.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4.2.3

Bewege $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Subtrahiere $2 x e^{- x^{2}}$ von $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ um.

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.8.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.3.2

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.12

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f''' (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 (e^{- x^{2}} (x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x^{2} + 12 (x^{2} (e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $12 e^{- x^{2}} x^{2}$ und $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 3.4.3.4.1

Bewege $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.3.4.2

Addiere $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ und $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Faktoren in $- 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$ um.

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{4} e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.8

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.8.1

Bewege $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.8.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.2.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2} e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.2

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.8.1

Bewege $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.3.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 4.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} e^{- x^{2}}$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 4.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 4.4.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 4.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

Schritt 4.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{5} (e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 (e^{- x^{2}} (x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 (e^{- x^{2}} (x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.5

Subtrahiere $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ von $- 32 e^{- x^{2}} x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.5.1

Bewege $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 x^{3} e^{- x^{2}} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.5.2

Subtrahiere $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ von $- 32 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.3.6

Addiere $48 e^{- x^{2}} x$ und $12 e^{- x^{2}} x$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.4

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = 16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.5.5

Stelle die Faktoren in $16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$ um.

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$ .

$16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$