Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (8))$

Schritt 1.2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$ um.

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{8})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{8}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere ${(x^{2} + 8)}^{8}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $16$ mit $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ aus $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7} + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ aus $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7}$ heraus.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ aus $18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ heraus.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ aus $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$ heraus.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 8)$

Schritt 2.11.4

Addiere $16 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 8)}^{7}$ und $g (x) = 17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 8) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $17 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.2

Da $17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $17 x^{2}$ nach $x$ gleich $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $34 x$ und $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.3.6.2

Bringe $34$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 8)}^{7}$ .

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8))$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (8)))$

Schritt 3.5.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + 0))$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x))$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $34$ mit $18$ .

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $17$ mit $14$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $14$ mit $8$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Schritt 3.6.6

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ aus $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ heraus.

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Schritt 3.6.6.1

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ aus $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x$ heraus.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$

Schritt 3.6.6.2

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ aus $18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ heraus.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$

Schritt 3.6.6.3

Faktorisiere $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ aus $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$ heraus.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Schritt 3.6.7

Stelle die Faktoren von $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$ um.

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 8 + 238 x^{2} + 112))$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $34$ mit $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 272 + 238 x^{2} + 112))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $34 x^{2}$ und $238 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 272 + 112))$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $272$ und $112$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Schritt 4.1.3

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)]$ .

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x {(x^{2} + 8)}^{6}$ und $g (x) = 272 x^{2} + 384$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 384) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $272 x^{2} + 384$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3.2

Da $272$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $272 x^{2}$ nach $x$ gleich $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $272$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3.5

Da $384$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $384$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.3.6

Addiere $544 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.7.2

Bringe $544$ auf die linke Seite von $x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 4.8

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{6}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Schritt 4.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.9.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.10

Differenziere.

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Schritt 4.10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.10.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.10.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.10.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (12 {(x^{2} + 8)}^{5} x) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 1))$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(x^{2} + 8)}^{6}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$ .

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$