Analysis Beispiele

$\int (1 - 6 x) e^{3 x - 9 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x - 9 x^{2}$ . Dann ist $d u = (3 - 18 x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = (1 - 6 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x - 9 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 - 9 (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$3 - 18 x$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$- 18 x + 3$

Schritt 1.1.6

Ordne Terme um.

$3 - 18 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x - 9 x^{2}} + C$