Analysis Beispiele

$y = 10 x^{3} + 9 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{3} + 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{3}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$30 x^{2} + 9 (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f' (x) = 30 x^{2} + 18 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x^{2} + 18 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x^{2}$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [18 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x + 18 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 x + 18 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$f'' (x) = 60 x + 18$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$60 + \frac{d}{d x} [18]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$60 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $60$ und $0$ .

$f''' (x) = 60$

Schritt 4

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$