Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (\sqrt{x})}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} \sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\ln (\sqrt{lim_{x \to 8} x})}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\ln (\sqrt{lim_{x \to 8} x})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (\sqrt{8})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (\sqrt{8})}{8^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\ln (\sqrt{4 (2)})}{8^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\ln (\sqrt{2^{2} \cdot 2})}{8^{2}}$

Schritt 6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{8^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{64}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (2 \sqrt{2})}{64}$

Dezimalform:

$0.01624563 \dots$