Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{20} 26 + 4 k$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{20} 26 + 4 k = \sum_{k = 1}^{20} 26 + 4 k - \sum_{k = 1}^{4} 26 + 4 k$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{20} 26 + 4 k$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{20} 26 + 4 k = \sum_{k = 1}^{20} 26 + 4 \sum_{k = 1}^{20} k$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{20} 26$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(26) (20)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $26$ mit $20$ .

$520$

Schritt 2.3

Berechne $4 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(4) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$4 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $21$ .

$4 (\frac{420}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{420}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{420}{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 420$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $420$ .

$840$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$520 + 840$

Schritt 2.5

Addiere $520$ und $840$ .

$1360$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} 26 + 4 k$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$26 + 4 \cdot 1 + 26 + 4 \cdot 2 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$26 + 4 + 26 + 4 \cdot 2 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Addiere $26$ und $4$ .

$30 + 26 + 4 \cdot 2 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$30 + 26 + 8 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.4

Addiere $26$ und $8$ .

$30 + 34 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.5

Addiere $30$ und $34$ .

$64 + 26 + 4 \cdot 3 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$64 + 26 + 12 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.7

Addiere $26$ und $12$ .

$64 + 38 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.8

Addiere $64$ und $38$ .

$102 + 26 + 4 \cdot 4$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$102 + 26 + 16$

Schritt 3.2.10

Addiere $26$ und $16$ .

$102 + 42$

Schritt 3.2.11

Addiere $102$ und $42$ .

$144$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$1360 - 144$

Schritt 5

Subtrahiere $144$ von $1360$ .

$1216$