Analysis Beispiele

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $10 y^{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{9} y^{5}$ nach $x$ gleich $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $7 y^{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{4} y^{8}$ nach $x$ gleich $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $90 y^{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $90 x^{8} y^{5}$ nach $x$ gleich $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $90$ .

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $28 y^{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 y^{8} x^{3}$ nach $x$ gleich $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $28$ .

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $720 y^{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $720 x^{7} y^{5}$ nach $x$ gleich $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $720$ .

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $84 y^{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84 y^{8} x^{2}$ nach $x$ gleich $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $84$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $5040 y^{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5040 x^{6} y^{5}$ nach $x$ gleich $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5040$ .

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $168 y^{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $168 y^{8} x$ nach $x$ gleich $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $168$ mit $1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$