Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.13.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.18

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.23

Um ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.25

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.25.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.25.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.25.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.26

Vereinfache ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.27

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.28

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$