Analysis Beispiele

$y = 16 x^{\frac{1}{2}} + 4 x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{\frac{1}{2}} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.9

Kombiniere $16$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.11

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + 4$