Analysis Beispiele

$4 x y = 32$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x y) = \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 (x y' + y)$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x y' + 4 y$

Schritt 3

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x y' + 4 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' = - 4 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x y' = - 4 y$ durch $4 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x y' = - 4 y$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x y'}{4 x} = \frac{- 4 y}{4 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x y'}{4 x} = \frac{- 4 y}{4 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 y}{4 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 y}{4 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 y}{4 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (- y)}{4 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- y)}{4 (x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- y)}{4 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$