Analysis Beispiele

$y + 16 x y - 12 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y + 16 x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 16 x y - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [16 x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x y$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$y' + 16 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$y' + 16 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + 16 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' + 16 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' + 16 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' + 16 (x y' + y) + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' + 16 (x y') + 16 y + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $y' + 16 x y' + 16 y$ und $0$ .

$y' + 16 x y' + 16 y$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$16 x y' + 16 y + y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$16 x y' + 16 y + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $16 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x y' + y' = - 16 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $16 x y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $16 x y'$ heraus.

$y' (16 x) + y' = - 16 y$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (16 x) + y' = - 16 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (16 x) + y' \cdot 1 = - 16 y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (16 x) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (16 x + 1) = - 16 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 x + 1) = - 16 y$ durch $16 x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 x + 1) = - 16 y$ durch $16 x + 1$ .

$\frac{y' (16 x + 1)}{16 x + 1} = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 x + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (16 x + 1)}{16 x + 1} = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 16 y}{16 x + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{16 y}{16 x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 y}{16 x + 1}$