Analysis Beispiele

$(10 - x) y^{2} = x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ((10 - x) y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 10 - x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$(10 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$(10 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(10 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(10 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $10 - x$ .

$2 \cdot (10 - x) y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.6

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \cdot - 1$

Schritt 2.10.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - 1 \cdot y^{2}$

Schritt 2.10.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$2 (10 - x) y y' - y^{2}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 10 + 2 (- x)) y y' - y^{2}$

Schritt 2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 10 y + 2 (- x) y) y' - y^{2}$

Schritt 2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 10 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Schritt 2.11.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.11.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Schritt 2.11.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$20 y y' - 2 x y y' - y^{2}$

Schritt 2.11.5

Stelle die Terme um.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $20 y y' - 2 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $20 y y'$ heraus.

$2 y y' \cdot 10 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x)$ heraus.

$2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ durch $2 y (10 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ durch $2 y (10 - x)$ .

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 - x$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (10 - x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (10 - x)$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$