Analysis Beispiele

$x y^{4} + x^{2} y = x + 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{4} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (x + 3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{4} + x^{2} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (4 y^{3} y') + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 y^{3} y') + y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 \cdot x y^{3} y' + y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 2.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + 2 y x$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + 3 y'$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$3 y' + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y = 3 y' + 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 1 - y^{4}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} x y' + x^{2} y' - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{3} x y' + x^{2} y' - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{3} x y'$ heraus.

$y' (4 y^{3} x) + x^{2} y' - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2}) - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2}) + y' \cdot - 3 = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2})$ heraus.

$y' (4 y^{3} x + x^{2}) + y' \cdot - 3 = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y^{3} x + x^{2}) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$ durch $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$ durch $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ .

$\frac{y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3)}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3)}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - y^{4} - 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y^{4} - 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$