Analysis Beispiele

$x e^{y} - 10 x + 3 y = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - 10 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} - 10 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 y'$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Stelle die Terme um.

$e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$ um.

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$ um.

$x y' e^{y} + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} + 3 y' - 10 = - e^{y}$

Schritt 5.2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} + 3 y' = - e^{y} + 10$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y} + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y}$ heraus.

$y' (x e^{y}) + 3 y' = - e^{y} + 10$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 3 = - e^{y} + 10$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x e^{y}) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ durch $x e^{y} + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ durch $x e^{y} + 3$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x e^{y} + 3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- e^{y} + 10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{y}$ heraus.

$y' = \frac{- (e^{y}) + 10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$y' = \frac{- (e^{y}) - 1 (- 10)}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{y}) - 1 (- 10)$ heraus.

$y' = \frac{- (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (e^{y} - 10)$ als $- 1 (e^{y} - 10)$ um.

$y' = \frac{- 1 (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$