Analysis Beispiele

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 (x^{2} - y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.6.2

Stelle die Faktoren von $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 (x^{2} - y^{2})$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$100 (2 x - 2 y y')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 200 y y' + 200 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.1.4.8

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5.2

Addiere $200 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $12 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $12 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4 y y'$ aus $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $12 y y' x^{2}$ heraus.

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4 y y'$ aus $12 y^{3} y'$ heraus.

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4 y y'$ aus $200 y y'$ heraus.

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ heraus.

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50$ heraus.

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ durch $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ durch $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} + 3 y^{2} + 50$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $200$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $200 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ heraus.

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ heraus.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ heraus.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Schritt 5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Schritt 5.5.3.2

Um $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y}$

Schritt 5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y$ um.

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.7

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $50 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.9

Schreibe $50$ als $- 1 (- 50)$ um.

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.13.1

Schreibe $- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ als $- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 5.5.3.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$