Analysis Beispiele

$x \sin (y) = y \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y)) = \frac{d}{d x} (y \cos (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (y) y' + \sin (y) = - y \sin (x) + \cos (x) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (y) y' + \sin (y)$ um.

$x y' \cos (y) + \sin (y) = - y \sin (x) + \cos (x) y'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ um.

$x y' \cos (y) + \sin (y) = - y \sin (x) + y' \cos (x)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y' \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (y) + \sin (y) - y' \cos (x) = - y \sin (x)$

Schritt 5.4

Subtrahiere $\sin (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (y) - y' \cos (x) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (y) - y' \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (y)$ heraus.

$y' (x \cos (y)) - y' \cos (x) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \cos (x)$ heraus.

$y' (x \cos (y)) + y' (- 1 \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x \cos (y)) + y' (- 1 \cos (x))$ heraus.

$y' (x \cos (y) - 1 \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$ durch $x \cos (y) - \cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$ durch $x \cos (y) - \cos (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) - \cos (x))}{x \cos (y) - \cos (x)} = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \cos (y) - \cos (x)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x \cos (y) - \cos (x))}{x \cos (y) - \cos (x)} = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y \sin (x) - \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y \sin (x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y \sin (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (y \sin (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y \sin (x)) - (\sin (y))$ heraus.

$y' = \frac{- (y \sin (x) + \sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.3.2.5.1

Schreibe $- (y \sin (x) + \sin (y))$ als $- 1 (y \sin (x) + \sin (y))$ um.

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x) + \sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \sin (x) + \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x) + \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$