Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} - x y = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y') - y$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - x y' - y = - 2 y^{2} x$

Schritt 5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x^{2} y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$x y' (2 x y) - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- x y'$ heraus.

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1$ heraus.

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ durch $x (2 x y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ durch $x (2 x y - 1)$ .

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x y - 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x y - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{(2 x y - 1) x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 x y - 1) x$ um.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x + y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{2} x + y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y^{1}}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y \cdot 1}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.5.4

Faktorisiere $y$ aus $y (- 2 y x) + y \cdot 1$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 y x + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 y x + 1$ und $2 x y - 1$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (2 y x) + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{y (- (2 y x) - 1 (- 1))}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.4

Schreibe $- (2 y x - 1)$ als $- 1 (2 y x - 1)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.5

Stelle die Terme um.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Schritt 5.3.3.6.7

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Schritt 5.3.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$